Question

【题目】已知函数f（x）=mex﹣lnx﹣1．
（1）当m=1，x∈[1，+∞）时，求y=f（x）的值域；
（2）当m≥1时，证明：f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=1时，f（x）=ex﹣lnx﹣1，f′（x）=ex﹣ ，

故f′（x）＞0在x∈[1，+∞）恒成立，

故f（x）在[1，+∞）递增，f（x）的最小值是f（1）=e﹣1，

故f（x）在值域是[e﹣1，+∞）

（2）解：当m≥1时，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．

要证明f（x）＞1，只需证明ex﹣lnx﹣2＞0．

以下给出三种思路证明ex﹣lnx﹣2＞0．

思路1：设g（x）=ex﹣lnx﹣2，则g′（x）=ex﹣ ．

设h（x）=ex﹣ ，则h′（x）=ex+ ＞0，

所以函数h（x）=g′（x）=ex﹣ 在（0，+∞）上单调递增．

因为g′（ ）= ﹣2＜0，g'（1）=e﹣1＞0，

所以函数g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，且x0∈（ ，1）．

因为g'（x0）=0时，所以 = ，即lnx0=﹣x0．

当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．

所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．

故g（x）≥g（x0）= ﹣lnx0﹣2= +x0﹣2＞0．

综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．

思路2：先证明ex≥x+1（x∈R）．

设h（x）=ex﹣x﹣1，则h'（x）=ex﹣1．

因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，

所以当x＜0时，函数h（x）单调递减，

当x＞0时，函数h（x）单调递增．

所以h（x）≥h（0）=0．

所以ex≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．

所以要证明ex﹣lnx﹣2＞0，

只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．

下面证明x﹣lnx﹣1≥0．

设p（x）=x﹣lnx﹣1，则p′（x）=1﹣ = ．

当0＜x＜1时，p'（x）＜0，当x＞1时，p'（x）＞0，

所以当0＜x＜1时，函数p（x）单调递减，当x＞1时，函数p（x）单调递增．

所以p（x）≥p（1）=0．

所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．

由于取等号的条件不同，

所以ex﹣lnx﹣2＞0．

综上可知，当m≥1时，f（x）＞1

【解析】（1）求得m=1时，求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的值域即可；（2）：运用分析法证明，当m≥1时，f（x）=mex﹣lnx﹣1≥ex﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明ex﹣lnx﹣2＞0，

思路1：设g（x）=ex﹣lnx﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；

思路2：先证明ex≥x+1（x∈R），设h（x）=ex﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证．

【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．