Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）存在一条切线与直线y=x平行，求a的取值范围；
（2）当0＜a＜2时，若f（x）在[a，2]上的最大值为﹣ ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）f′（x）= ﹣a，

若曲线y=f（x）存在一条切线与直线y=x平行，

则 ﹣a=1，即a= ﹣1有解，

由x＞0，得：a＞﹣1

（2）f′（x）= ﹣a，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令f′（x）＜0，解得：x＞ ，

故f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，

①2≤ 即0＜a≤ 时，

f（x）在[a，2]递增，f（x）max=f（2）=ln2﹣2a=﹣ ，

解得：a= ln2+ ＞ （舍）；

②a＜ ＜2即 ＜a＜1时，

f（x）在[a， ）递增，在（ ，2]递减，

故f（x）max=f（ ）=ln ﹣1=﹣ ，

解得：a= ，

③ ≤a，即1≤a＜2时，

f（x）在[a，2]递减，f（x）max=f（a）=lna﹣a2=﹣ ，

函数n（a）=lna﹣a2，a∈[1，2），n′（a）= ﹣2a递减，n′（1）=﹣1＜0，

故n（a）在[1，2）递减，n（a）＜n（1）=﹣1＜﹣ ，

故方程lna﹣a2=﹣ 无解；

综上a=

【解析】（1）求出函数的导数，得到关于a的函数式，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于a的方程，解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．