Question

如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若EB=6，EC=6，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵⊙O是以AB为直径的圆，∠ACB=90°，
∴点C在⊙O上，连接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥DC，
∴DC⊥OC，
∵OC为半径，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：∵DC是⊙O的切线，
∴EC²=EB·EA，
又∵EB=6，EC=6，
∴EA=12．
∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，
∴△ECB∽△EAC，
∴，AC=BC，
∵AC²+BC²=AB²=36，
∴BC=