题目内容

（2011•徐州模拟）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2，则
EF
与
BC
的夹角等于
π
3
π
3
．
分析：由题意可得
BC
2=4=（
AC
-
AB
）2，由此求得
AC
•
AB
=
1
2
，由
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得
EF
•
BC
=1，即可求得
EF
与
BC
的夹角的余弦值．
解答：解：由题意可得
BC
2=4=（
AC
-
AB
）2=
AC
2+
AB
2-2
AC
•
AB
=4+1-2
AC
•
AB
，
∴
AC
•
AB
=
1
2
．
由
AB
•
AE
+
AC
•
AF
=2，
可得
AB
•（
AB
+
BE
）+
AC
•（
AB
+
BF
）
=
AB
2+
AB
•
BE
+
AC
•
AB
+
AC
•
BF
=1+
AB
•（-
BF
）+
1
2
+
AC
•
BF

=
3
2
+
BF
•（
AC
-
AB
）=
3
2
+
1
2
EF
•
BC
=2，
∴
EF
•
BC
=1，即 1×2×cos＜
EF
，
BC
＞=1，
∴cos＜
EF
，
BC
＞=
1
2
，
∴
EF
与
BC
的夹角等于
π
3

故答案为：
π
3
．
点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
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