Question

已知四棱锥P—ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，点E是BC边的中点．AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD．

(Ⅰ)求证：PD⊥BC；

(Ⅱ)若AB=6，PC：PC=6，求二面角P-AD-C的大小；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)在菱形ABCD中，连结DB

∵∠BCD=60°,则△BCD为等边三角形

∵点E是BC边的中点

∴DE⊥BC

∵PO⊥平面ABCD

∴OD是斜线PD在底面ABCD内的射影

∴PD⊥BC 

(Ⅱ)∵四边形ABCD是菱形   ∴AD∥BC

由(Ⅰ)PD上AD  DE⊥AD

∴∠ODP是二面角P-AD-C的平面角

∵AB=6，∴DE=9，AC=18

由

∴OD=OC=6，

∴PD=PC=6

在直角三角形POD中，cosPDO=

∴∠PDO=即二面角P-AD-C为

(Ⅲ)取AD中点F，连BF、PF

由点E是BC边的中点，所以DE∥BF，且DE=BF=9

∴∠PBF或其补角是异面直线PB与DE所成角

在直角三角形PDF中，PF=3，PB=PC=6

在∠PBF中，cosPBF=

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)在菱形ABCD中，AC⊥DB

由(Ⅰ)△BCD为等边三角形

∵点E是BC边的中点，DE交AC于O

∴点O是△BCD重心

∵AB=6，∴OD=OC=6，

∵PC=6  ∴PO=6．

过点O作AD平行线交AB于F，以点O为坐标原点，建立如图所示的坐标系

∴A(，-6，0)，D(，3，0)，C(，3，0)D(0，-6，0)，P(0，0，6)．(7分)

∴=(，0，0)，=(0，-6，-6)

设平面PAD的法向量为s=(a，m，n)，则

∴

∴不妨取s=(0，-1，1)

=(0，0，6)是平面ADC法向量

∴cos＜s，＞=

∴二面角P-AD-C的大小为

(Ⅲ)由(Ⅱ)点E(0，3，0)

∴=(，3，-6)  =(0，9，0)

∴cos＜,＞=

即异面直线PB与DE所成角的余弦值为．