Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函数f（x）在x=1处的导数得到切线的斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式方程表示出切线方程即可；
（2）先求f′（0）与f′（1），看两值是否异号，然后证明f′（x）在[0，1]上单调性，即可证明函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）将参数a分离出来，得到在[，+∞）上恒成立，然后利用导数研究不等式右边的函数在[，+∞）上的最小值即可．
解答：解：（1）f′（x）=e^x+4x-3，则f'（1）=e+1，
又f（1）=e-1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e+1=（e+1）（x-1），
即（e+1）x-y-2=0；

（2）∵f′（0）=e-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=e^x+4x-3，则h′（x）=e^x+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上单调递增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点

（3）由，
得，
即，
∵，∴，
令，则，
令，则ϕ'（x）=x（e^x-1）
∵，∴ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在上单调递增，
∴，
因此g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增，
则．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想，属于基础题．