Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）， ，

因为函数在其定义域内为增函数，

所以， 恒成立，

当时，显然不成立；

当时， ，要满足， 时恒成立，则，

∴.

（2）设函数， ，

则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即.

①时， ，

∵，∴， ， ，则，不符合条件；

②时， ，

由，可知，

则在单调递增， ，整理得.

综上所述， .