Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，且直线： 被椭圆截得的弦长为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与圆： 相切：

（i）求圆的标准方程；

（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）；（II）（i）;（ii）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线过定点， ，可得到，再结合，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（i）利用圆的几何性质，求出圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，即可求出圆的标准方程；（ii）首先设直线的方程为，利用韦达定理即可求出弦长的表达式，同理利用圆的几何关系可求出弦长的表达式，即可得到的表达式，再用换元法，即可求出的取值范围.

试题解析：

解：（Ⅰ）由已知得直线过定点， ， ，

又， ，解得， ，

故所求椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得直线的方程为，即，

又圆的标准方程为，

∴圆心为，圆的半径，

∴圆的标准方程为．

（ii）由题可得直线的斜率存在，

设： ，与椭圆的两个交点为、，

由消去得，

由，得，

， ，

∴．

又圆的圆心到直线： 的距离，

∴圆截直线所得弦长，

∴，

设， ，

则，

∵的对称轴为，在上单调递增， ，

∴，

∴．