题目内容

已知函数f（n）=n²cos（nπ），且a_n=f（n），则a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=（）
A．0
B．100
C．5050
D．10200

【答案】分析：先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解．
解答：解：∵f（n）=n²cos（nπ）=

=（-1）ⁿ•n²，
且a_n=f（n），
∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=2²-1²+4²-3²+6²-5²+…+100²-99²
=1+2+3+4+5+6+…+99+100
=

=5050．
故选C．
点评：本小题是一道分段数列的求和问题，综合三角知识，主要考查分析问题和解决问题的能力．

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已知函数f(x)=a-

是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
（3）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）•f（y）；
③f（n）∈N； ④当x＞y时，有f（x）＞f（y）．（1）求f（1），f（3）的值．
（2）由f（1）f（2），f（3）的值，猜想f（n）的解析式．（3）证明你猜想的f（n）的解析式的正确性．

已知函数f(x)=log3

．
（1）证明函数f（x）的图象关于点(

，1)对称；
（2）若Sn=f(

)(n∈N+，n≥2)，求S_n；
（3）在（2）的条件下，若an=

（n∈N₊），T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜mS_n+2对一切n∈N₊都成立，试求实数m的取值范围．

已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）•f（y）；
③f（n）∈N； ④当x＞y时，有f（x）＞f（y）．　（1）求f（1），f（3）的值．
（2）由f（1）f（2），f（3）的值，猜想f（n）的解析式．　（3）证明你猜想的f（n）的解析式的正确性．

已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）•f（y）；
③f（n）∈N； ④当x＞y时，有f（x）＞f（y）．（1）求f（1），f（3）的值．
（2）由f（1）f（2），f（3）的值，猜想f（n）的解析式．（3）证明你猜想的f（n）的解析式的正确性．