Question

如图2-3-30,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

图2-3-30

(1)证明:PA∥平面EDB;

(2)证明:PB⊥平面EFD.

Answer 1

证明:(1)连结AC,AC交BD于O.连结EO,如图2-3-31.

图2-3-31

∵底面ABCD是正方形,

∴点O是AC的中点.

在△PAC中,EO是中位线,

∴PA∥EO.

而EO平面EDB且PA平面EDB.

所以PA∥平面EDB.

(2)∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD.

∴PD⊥DC.

∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线.

∴DE⊥PC.①

同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC.

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC.

∴BC⊥DE.②

由①和②推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC.

∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF=E.所以PB⊥平面EFD.