Question

己知函数f(x)=,AR.

（1）证明：函数y=f(x)的图象关于点（A,－1）成中心对称图形；

 (2)当 x[A+1,A+2]时，求证：f(x) [－2,－];

 (3)我们利用函数y=f(x)构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁,令x₂=f(x₁),x₃=f(x₂),…，x_n=f(x_n－1),….

在上述构造数列的过程中，如果x_i+(I=2,,3,4,…)在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止.

①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n},求实数A的取值范围；

②如果取定义域中任一值作为x₁,都可以用上述方法构造出一个无穷数列{ x_n}，求实数A的值.

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：设点P（x0,y0）是函数y=f(x)图象上一点，则y0=. 点P关于（A,－1）的对称点P＇（2A－x0,－2－y0）. ∵f(2A－x0)==, －2－y0=－2－= ∴－2－y0=f(2A－x0), 即P＇点在函数y=f(x)的图象上. 所以，函数y=f(x)的图象关于点（A,－1）成中心对称图形. （2）证明：∵[f(x)+2][f(x)+ ]=·=, 又x[A+1,A+2], ∴(x－A－1)(x－A－2)≤0,2（A－x）2>0. ∴[f(x)+2][f(x)+ ]≤0 ∴－2≤f(x) ≤－ . (3) 解：①根据题意，只需x≠A时，f(x)=x有解，即=x有解，即x2+(1－A)x+1－A=0有不等于A的解. ∴△>0或△=0并且x≠A. 由△>0得A<－3或A>1; 由△=0得A=－3或A=1.此时，分别为－2或0.符合题意. 综上，A≤－3或A≥1. ②根据题意，应满足x≠A时，=A无解,即x≠A时，(1+A)x=A2+A－1无解.由于x=A不是方程（1+A）x=A2+A－1的解，所以，对于任意x∈R，（1+A）x=A2+A－1无解. ∴A= －1.