Question

己知函数f(x)=

2x-1

2x+1

，
（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=

x2

2f(x)

．判定函数g（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数作适当变形，再利用定义证明，先在定义域上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，与零比较，由定义得到结论．
（Ⅱ）利用有界法求解，将函数看作方程，解得 2x=

1+y

1-y

，再由2^x＞0，解得y的范围，即为所求．
（Ⅲ）求出函数g（x）的定义域，利用函数奇偶性的定义加以判断即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
y₂-y₁=f（x₂）-f（x₁）=

2x2-1

2x2+1

-

2x1-1

2x1+1

=

2•2x2-2•2x1

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

当x₁＜x₂时，2x1＜2x2
∴2x2-2x1＞0．又2x1+1＞0，2x1+1＞0
∴y₂-y₁＞0
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）：（1）∵2x=

1+y

1-y

，又2^x＞0，
∴-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）由题意知g（x）=

x2

2

•

2x+1

2x-1

易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=

(-x)2

2

•

2-x+1

2-x-1

=

x2

2

•

1+2x

1-2x

=-

x2

2

•

2x+1

2x-1

=-g（x）
∴函数g（x）为奇函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性、值域的求法和单调性的证明，值域常见方法有单调性法，基本函数法，有界性法，判别式法等，证明单调性一般有定义法，导数法，考查运算能力以及分析问题解决问题的能力．属中档题．