Question

(2006福州模拟)如下图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M为线段EF的中点．

(1)求证：AM⊥平面BDF；

(2)求二面角A－DF－B的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设AC∩BD=O，连结OM， 因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 又平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF=AC， 则BD⊥平面ACEF，所以BD⊥AM． 又因为，而， 所以AF=AO， ∵M为矩形ACEF的边EF的中点， ∴四边形OAFM为正方形，∴AM⊥OF． ∵BD∩OF=O，且OF、BD平面BDF， ∴AM⊥平面BDF． (2)因为平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF=AC， 而ACEF为矩形，即AF⊥AC， 所以AF⊥平面ABCD，得AB⊥AF， 又ABCD为正方形，则AB⊥AD， ∵AD∩AF=A，∴AB⊥平面ADF． 在平面ADF内过A作AG⊥DF于点G，连BG，则由三垂线定理知BG⊥DF， 所以∠AGB即为二面角A－DF－B的平面角．设，AF=a(a＞0)，则，所以．则在Rt△ABG中，，所以∠AGB=60°，即二面角A－DF－B的大小为60°．