Question

(本题满分16分)

已知函数在是增函数,在(0,1)为减函数.

（Ⅰ）求、的表达式；

（Ⅱ）求证:当时,方程有唯一解；

（Ⅲ）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围.

Answer 1

(本题满分16分)

解: （Ⅰ）依题意恒成立,

即,恒成立。 ∴   ①   ………………………2分

又,依题意恒成立,

即,恒成立。∴        ②  …………………………4分

由①②得.   

∴   …………………………………5分

（Ⅱ）由(Ⅰ)可知,方程,

设,

……………………7分

令,并由得 

列表分析:

	(0,1)	1	(1,+¥)
	-	0	+
	递减	0	递增

知在处有一个最小值0,          ……………………………9分

∴当时,＞0, ∴在(0,+¥)上只有一个解.

即当x＞0时,方程有唯一解。        ……………………………11分

（Ⅲ）在∈恒成立在∈内恒成立

在∈内恒成立…③ …………………………13分

令（∈），

则

∈时，，在是减函数，

由③知，       …………………………………15分

又 ，所以：为所求范围.         …………………………………16分

另解：设, 则时，

      13分

       ……………………15分

在为减函数， ，

又，所以：为所求范围.            …………………………16分