Question

5．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{4}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x，则此双曲线的离心率为$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{4}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x，可得b=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$a，再由a，b，c的关系以及离心率公式计算即可得到．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{4}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x，可得$\frac{b}{a}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
即b=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$a，c=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．