题目内容

已知等比数列{a_n}满足a₁+a₆=11，且a₃a₄= $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）如果至少存在一个自然数m，恰使 $数学公式$ ， $数学公式$ ，a_m+1+ $数学公式$ 这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{a_n}是否存在？若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴a_n= $\text{[math]}$ 或a_n= $\text{[math]}$ ．
（2）对a_n= $\text{[math]}$ ，若存在题设要求的m，则
2•（ $\text{[math]}$ •2^m-1_）2= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •2^m-2+ $\text{[math]}$ •2^m+ $\text{[math]}$ ．
∴（2^m）²-7•2^m+8=0．
∴2^m=8，m=3．
对a_n= $\text{[math]}$ ，若存在题设要求的m，同理有（2^6-m）²-11•2^6-m-8=0．
而△=11²+16×8不是完全平方数，故此时所需的m不存在．
综上所述，满足条件的等比数列存在，且有a_n= $\text{[math]}$ •2^n-1．
分析：（1）、根据等比数列的通项公式，把已知条件化为a₁，q；建立方程解之即可；
（2）、根据（1）中的通项公式，再根据恰使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，a_m+1+ $\text{[math]}$ 这三个数依次成等差数列，分类建立方程，解之即可，注意取舍．
点评：本题考查了等比数列和等差数列，用到等比数列通项公式，等差中项，以及解方程．还有分类讨论的数学思想．