Question

（本小题共13分）

       若数列满足，数列为数列，记=．

       （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；

       （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；

       （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。

Answer 1

（共13分）

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A₅）

（Ⅱ）必要性：因为E数列A₅是递增数列，

所以.

所以A₅是首项为12，公差为1的等差数列.

所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.

充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1，

a₂₀₀₀—a₁₀₀₀≤1

……

a₂—a₁≤1

       所以a₂₀₀₀—a≤19999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999.

       又因为a₁=12，a₂₀₀₀=2011,

       所以a₂₀₀₀=a₁+1999.

       故是递增数列.

       综上，结论得证。

       （Ⅲ）令

       因为

       ……

      

所以

因为

所以为偶数,

所以要使为偶数,

即4整除.

当

时，有

当的项满足，

当不能被4整除，此时不存在E数列A_n，

使得