Question

设双曲线的左、右顶点分别为A₁，A₂垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p，Q．
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与A₂Q的交点M的轨迹E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知，得到P的坐标满足的等式，又点P在双曲线上得到p的坐标满足的另一个等式，解方程组求出p的坐标，进一步得到T的坐标．
（2）利用A₁，P，M三点共线，得：，由A₂，Q，M三点共线，，
从中得到，又P（x，y）在双曲线上，
代入双曲线方程求出轨迹方程．
解答：解：（1）由题意得，设P（x，y），Q（x，-y），
则．
由，
即x²-y²=3，①…（3分）
又P（x，y）在双曲线上，则．②
联立①、②，解得：x=±2，由题意，x＞0，
∴x=2，
∴点T的坐标为（2，0）…（6分）
（2）设直线A₁P与A₂Q的交点M的坐标为（x，y），
由A₁，P，M三点共线，得：，①
由A₂，Q，M三点共线，得：，②
联立①、②，解得：．…（9分）
∵P（x，y）在双曲线上，
∴
∴轨迹E的方程为．…（12分）
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生对解析几何学知识的综合运用．