Question

14、若点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，则
（1）点集P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}所表示的区域的面积为

π

；
（2）点集M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的区域的面积为

12+π

．

Answer 1

分析：（1）利用x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A，把x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得点集P表示区域，可求面积．
（2）和（1）类似，把x₁，y₁代入x²+y²≤1，得（x-x₁）²+（y-y₁）²≤1说明它的轨迹图形，也可以求出面积．

解答：解：（1）P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}
∵（x₁，y₁）∈A
∴（x₁）²+（y₁）²≤1
而x₁=x-1，y₁=y-1
∴（x-1）²+（y-1）²≤1
则P={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤1}
表示的区域是以（1，1）为圆心，半径=1的圆，面积为π．

（2）M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}
A所表示的区域是以（0，0）为圆心，半径=1的圆，
B所表示的区域是以（1，1）（1，-1）（-1，-1）（-1，1）为顶点的正方形，
把x₁，y₁代入x²+y²≤1，
∴（x-x₁）²+（y-y₁）²≤1
M所表示的区域是A的圆心在正方形B的边上移动，圆所覆盖的区域．
M的面积为12+π
故答案为：（1）π（2）12+π

点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系问题，考查转化的数学思想，难度较大．