Question

若点集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，设点集P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}，M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}，现向区域M内任投一点，则点落在区域P内的概率为（　　）

• A．

  π

  12+π

• B．

  π

  6+π

• C．

  π

  16

• D．

  π

  8

Answer 1

分析：先分析集合P表示的区域，将x=x₁+1，y=y₁+1转化为x₁=x-1，y₁=y-1，结合集合A={（x，y）|x²+y²≤1}，可得P={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤1}表示的区域是以（1，1）为圆心，半径为1的圆，进而可得其面积；对于M表示的区域，分析A、B集合表示的区域，把x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1，分析可得M表示的区域形状即面积；根据几何概型的公式，计算可得答案．

解答：解：根据题意，P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}
由（x₁，y₁）∈A，可得（x₁）²+（y₁）²≤1
而x₁=x-1，y₁=y-1，则（x-1）²+（y-1）²≤1
则P={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤1}表示的区域是以（1，1）为圆心，半径为1的圆，面积为π．
M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}
A所表示的区域是以（0，0）为圆心，半径为1的圆，
B所表示的区域是以（1，1）、（1，-1）、（-1，-1）、（-1，1）为顶点的正方形，
把x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1
M所表示的区域是A的圆心在区域B的边上移动，圆所覆盖的区域，M的面积为12+π；
则向区域M内任投一点，则点落在区域P内的概率为

π

12+π

；
故选A．

点评：本题考查几何概型的计算，关键在分析出集合P、M表示的区域的区域的形状，难点是分析M表示的区域形状．