题目内容
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足
。
。
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的余弦值。
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的余弦值。
解：以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz
则
从而
∴PN⊥AM；
（2）平面ABC的一个法向量为
=（0，0，1）
则sinθ=|cos<
>|=
（*）
而θ∈[0，
]，当θ最大时，sinθ最大，（θ=
除外）
由（*）式，当λ=
时，（sinθ）max=
此时cosθ=
因此当λ=
时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大。其余弦值为
。
则
从而
∴PN⊥AM；
（2）平面ABC的一个法向量为
=（0，0，1）则sinθ=|cos<
>|= （*）而θ∈[0，
]，当θ最大时，sinθ最大，（θ=除外）由（*）式，当λ=
时，（sinθ）max=此时cosθ=
因此当λ=
时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大。其余弦值为。
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