Question

已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在区间上的最小值；

(3)证明不等式：.

Answer 1

解：(1)函数的定义域为

  当时，则，故曲线在点处的切线为

  (2)，则

  ①当时，，

  此时在上单减， 故

  ②当时，

  (Ⅰ)即,在上单增，故；

  (Ⅱ),即,在单减,在单增, 故

                           .

  (Ⅲ)，即, 在上单减,故

                          

  综上

  (3)由(1)知，当时，在上单调递减；在上单调递增.则函数在处取得极小值，也即在区间的最小值.

  则

  故当且时，

 

 

 

即.