题目内容
新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10～1000万元的投资收益．现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%．
（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求．
（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)=
+2； ②f（x）=4lgx-2．
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求．
（Ⅰ）设奖励方案的函数模型为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求．
（Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)=
| x | 150 |
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求．
分析：（Ⅰ）根据题意可知奖励方案描述的是函数的单调性和最值，从而运用数学语言描述出即可；
（Ⅱ）分别对两个函数模型研究它们的单调性和恒成立问题，判断是否符合（1）中的基本要求即可．
（Ⅱ）分别对两个函数模型研究它们的单调性和恒成立问题，判断是否符合（1）中的基本要求即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≥1恒成立；③f(x)≤
恒成立，
（Ⅱ）（i）对于函数模型f(x)=
+2，
当x∈[10，1000]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≥1显然恒成立，
若函数f(x)=
+2≤
在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立，
又∵（29x）min=290，
∴f(x)≤
不恒成立，
综上所述，函数模型f(x)=
+2满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型f(x)=
+2不符合公司要求；
（ii）对于函数模型f（x）=4lgx-2，
当x∈[10，1000]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）min=f（10）=4lg10-2=2＞1，
∴f（x）≥1恒成立，
令g(x)=4lgx-2-
，则g′(x)=
-
，
∵当x≥10时，g′(x)=
-
≤
=
＜0，
∴g（x）在[10，1000]上是减函数，
∴g（x）≤g（10）=4lg10-2-2=0，
即4lgx-2-
≤0，
∴4lgx-2≤
，
∴f(x)≤
恒成立，
综上所述，函数模型f（x）=4lgx-2满足基本条件①②③，
故函数模型f（x）=4lgx-2符合公司要求．
当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≥1恒成立；③f(x)≤
| x |
| 5 |
（Ⅱ）（i）对于函数模型f(x)=
| x |
| 150 |
当x∈[10，1000]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≥1显然恒成立，
若函数f(x)=
| x |
| 150 |
| x |
| 5 |
又∵（29x）min=290，
∴f(x)≤
| x |
| 5 |
综上所述，函数模型f(x)=
| x |
| 150 |
故函数模型f(x)=
| x |
| 150 |
（ii）对于函数模型f（x）=4lgx-2，
当x∈[10，1000]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）min=f（10）=4lg10-2=2＞1，
∴f（x）≥1恒成立，
令g(x)=4lgx-2-
| x |
| 5 |
| 4lge |
| x |
| 1 |
| 5 |
∵当x≥10时，g′(x)=
| 4lge |
| x |
| 1 |
| 5 |
| 2lge-1 |
| 5 |
| lge2-1 |
| 5 |
∴g（x）在[10，1000]上是减函数，
∴g（x）≤g（10）=4lg10-2-2=0，
即4lgx-2-
| x |
| 5 |
∴4lgx-2≤
| x |
| 5 |
∴f(x)≤
| x |
| 5 |
综上所述，函数模型f（x）=4lgx-2满足基本条件①②③，
故函数模型f（x）=4lgx-2符合公司要求．
点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题的解题关键是理解题意，将题意转化为数学问题进行求解．属于中档题．
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.
，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型
； ②
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