题目内容

已知函数y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性质：在区间（0，
a
]上单调递减，在[
a
，+∞）上单调递增．
（1）如果函数f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，求常数b的值．
（2）设常数a∈[l，4]，求函数y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．
分析：（1）由所给性质求得函数y=x+
a
x
的单调区间，对比所给单调区间，即可得到方程，解出即可；
（2）根据性质求出函数单调区间，由a的范围知函数y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值只能在端点处取得，讨论函数端点处函数值的大小即可得到答案．
解答：解：（1）由性质知，函数在（0，
2b
]上是单调递减，在[
2b
，+∞）上单调递增，
∴
2b
=4，解得b=4．
（2）由性质知，函数在（0，
a
]上单调递减，在[
a
，+∞）上单调递增，
∵a∈[1，4]，∴函数y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值只能在端点处取得，
当x=1时，y=1+a，当x=2时，y=2+
a
2
，
令1+a≤2+
a
2
，得a≤2，
∴ymax=
2+
a
2
，(1≤a≤2)
1+a，(2＜a≤4)
．
点评：本题考查函数单调性的性质，考查学生运用所学知识分析解决新问题的能力，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）如果函数y=x+
2b
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函数y=x2+
c
x2
（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+
1
x
）n+（
1
x2
+x）n（n是正整数）在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
上是减函数，在
a
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
2b
x
在（0，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；
（2）设常数c∈1，4，求函数f（x）=x+
c
x
（1≤x≤2）的最大值和最小值．
已知函数y=x+
a
x
（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
b2
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+
c
x2
（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+
1
x
)2+(
1
x2
+x)2在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数，
（1）如果函数y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）研究函数f(x)=x2+
a
x2
（常数a＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）若把函数f(x)=x2+
a
x2
（常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

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