Question

已知A、B、C是直线l上的三点，向量

OA

、

OB

、

OC

满足：

OA

-（y+1-lnx）

OB

+

1-x

ax

OC

=

0

，（O不在直线l上，a＞0）
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求a的范围；
（3）求证：lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

对n≥2的正整数n恒成立．

Answer 1

分析：（1）根据三点共线的充要条件，可得y+1-lnx+

x-1

ax

=1，整理可得y=f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，进而求出a的范围；
（3）当a=1时，f（x）=lnx+

1

x

-1，结合（2）中函数的单调性，可得lnx≥1-

1

x

，令x=

n

n-1

得：ln

n

n-1

＞

1

n

，进而利用对数的运算性质，可证得结论．

解答：解：（1）由已知得：

OA

=（y+1-lnx） 

OB

+

x-1

ax

OC

，由A、B、C共线得：
y+1-lnx+

x-1

ax

=1，整理得：y=lnx+

1-x

ax

（2）f（x）=lnx+

1-x

ax

=lnx+

1

ax

-

1

a

∴f′（x）=

1

x

-

1

ax2

≥0在x∈[1，+∞）上恒成立
∴a≥

1

x

在x∈[1，+∞）上的最大值，又

1

x

≤1
∴a≥1
证明：（3）当a=1时，f（x）=lnx+

1

x

-1
由（2）知当x∈[1，+∞）时，f（x）=lnx+

1

x

-1≥f（1）=0
∴lnx≥1-

1

x

（仅x=1时取“=”）
令x=

n

n-1

得：ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

，即：ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

点评：本题考查的知识点是不等式的证明，函数解析式的求法，导数法求函数的单调性，是函数与不等式问题的综合应用，难度较大．