题目内容

已知A、B、C是直线l上的不同的三点,O是外一点,则向量
OA
OB
OC
满足:
OA
OB
OC
,其中λ+μ=1.
(1)若A、B、C三点共线且有
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0
成立.记y=f(x),求函数y=f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈[
1
6
1
3
]
,不等式|a-lnx|-ln[f(x)-3x]>0恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)由条件求得
OA
=(3x+1)•
OB
+(
3
2+3x
-y)•
OC
,根据A、B、C在同一条直线上,可得(3x+1)+(
3
2+3x
-y)=1
,由此求得函数y=f(x)的解析式.
(2)原不等式|a-lnx|-ln(
3
2+3x
)>0
,即 a<lnx-ln
3
2+3x
,或a>lnx+ln
3
2+3x
,利用单调性求出lnx-ln
3
2+3x
的最小值和lnx+ln
3
2+3x
的最大值,
即可求得实数a的取值范围.
解答:解:(1)∵
OA
-(3x+1)•
OB
-(
3
2+3x
-y)•
OC
=
0

OA
=(3x+1)•
OB
+(
3
2+3x
-y)•
OC
,(1分)
又∵A、B、C在同一条直线上,∴(3x+1)+(
3
2+3x
-y)=1
…(2分),
y=
3
2+3x
+3x
,即f(x)=
3
2+3x
+3x
,…(5分)
(2)∵f(x)=
3
2+3x
+3x

∴原不等式为|a-lnx|-ln(
3
2+3x
)>0

a<lnx-ln
3
2+3x
,或a>lnx+ln
3
2+3x
,…(8分)
g(x)=lnx-ln
3
2+3x
=ln
2x+3x2
3
h(x)=lnx+ln
3
2+3x
=ln
3x
2+3x
,…(10分)
依题意知a<g(x)或a>h(x)在x∈[
1
6
1
3
]
上恒成立,∵g(x)与h(x)在[
1
6
1
3
]
上都是增函数,…(12分)
∴要使不等式①成立,当且仅当a<g(
1
6
)
a>h(
1
3
)

a<ln
5
36
,或a>ln
1
3
,…(14分)
点评:本题主要考查两个向量的数量积的运算,函数的恒成立问题,属于中档题.
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