题目内容
已知A、B、C是直线l上的不同的三点,O是外一点,则向量
、
、
满足:
=λ
+μ
,其中λ+μ=1.
(1)若A、B、C三点共线且有
-(3x+1)•
-(
-y)•
=
成立.记y=f(x),求函数y=f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈[
,
],不等式|a-lnx|-ln[f(x)-3x]>0恒成立,求实数a的取值范围.
OA |
OB |
OC |
OA |
OB |
OC |
(1)若A、B、C三点共线且有
OA |
OB |
3 |
2+3x |
OC |
0 |
(2)若对任意x∈[
1 |
6 |
1 |
3 |
分析:(1)由条件求得
=(3x+1)•
+(
-y)•
,根据A、B、C在同一条直线上,可得(3x+1)+(
-y)=1,由此求得函数y=f(x)的解析式.
(2)原不等式|a-lnx|-ln(
)>0,即 a<lnx-ln
,或a>lnx+ln
,利用单调性求出lnx-ln
的最小值和lnx+ln
的最大值,
即可求得实数a的取值范围.
OA |
OB |
3 |
2+3x |
OC |
3 |
2+3x |
(2)原不等式|a-lnx|-ln(
3 |
2+3x |
3 |
2+3x |
3 |
2+3x |
3 |
2+3x |
3 |
2+3x |
即可求得实数a的取值范围.
解答:解:(1)∵
-(3x+1)•
-(
-y)•
=
,
∴
=(3x+1)•
+(
-y)•
,(1分)
又∵A、B、C在同一条直线上,∴(3x+1)+(
-y)=1…(2分),
y=
+3x,即f(x)=
+3x,…(5分)
(2)∵f(x)=
+3x,
∴原不等式为|a-lnx|-ln(
)>0,
得a<lnx-ln
,或a>lnx+ln
,…(8分)
设g(x)=lnx-ln
=ln
,h(x)=lnx+ln
=ln
,…(10分)
依题意知a<g(x)或a>h(x)在x∈[
,
]上恒成立,∵g(x)与h(x)在[
,
]上都是增函数,…(12分)
∴要使不等式①成立,当且仅当a<g(
)或a>h(
),
即a<ln
,或a>ln
,…(14分)
OA |
OB |
3 |
2+3x |
OC |
0 |
∴
OA |
OB |
3 |
2+3x |
OC |
又∵A、B、C在同一条直线上,∴(3x+1)+(
3 |
2+3x |
y=
3 |
2+3x |
3 |
2+3x |
(2)∵f(x)=
3 |
2+3x |
∴原不等式为|a-lnx|-ln(
3 |
2+3x |
得a<lnx-ln
3 |
2+3x |
3 |
2+3x |
设g(x)=lnx-ln
3 |
2+3x |
2x+3x2 |
3 |
3 |
2+3x |
3x |
2+3x |
依题意知a<g(x)或a>h(x)在x∈[
1 |
6 |
1 |
3 |
1 |
6 |
1 |
3 |
∴要使不等式①成立,当且仅当a<g(
1 |
6 |
1 |
3 |
即a<ln
5 |
36 |
1 |
3 |
点评:本题主要考查两个向量的数量积的运算,函数的恒成立问题,属于中档题.
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