题目内容
已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，则向量
、
、
满足：
=λ
+μ
，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三点共线且有
-(3x+1)•
-(
-y)•
=
成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[
，
]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
（1）若A、B、C三点共线且有
| OA |
| OB |
| 3 |
| 2+3x |
| OC |
| 0 |
（2）若对任意x∈[
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
分析：（1）由条件求得
=(3x+1)•
+(
-y)•
，根据A、B、C在同一条直线上，可得(3x+1)+(
-y)=1，由此求得函数y=f（x）的解析式．
（2）原不等式|a-lnx|-ln(
)＞0，即 a＜lnx-ln
，或a＞lnx+ln
，利用单调性求出lnx-ln
的最小值和lnx+ln
的最大值，
即可求得实数a的取值范围．
| OA |
| OB |
| 3 |
| 2+3x |
| OC |
| 3 |
| 2+3x |
（2）原不等式|a-lnx|-ln(
| 3 |
| 2+3x |
| 3 |
| 2+3x |
| 3 |
| 2+3x |
| 3 |
| 2+3x |
| 3 |
| 2+3x |
即可求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵
-(3x+1)•
-(
-y)•
=
，
∴
=(3x+1)•
+(
-y)•
，（1分）
又∵A、B、C在同一条直线上，∴(3x+1)+(
-y)=1…（2分），
y=
+3x，即f(x)=
+3x，…（5分）
（2）∵f(x)=
+3x，
∴原不等式为|a-lnx|-ln(
)＞0，
得a＜lnx-ln
，或a＞lnx+ln
，…（8分）
设g(x)=lnx-ln
=ln
，h(x)=lnx+ln
=ln
，…（10分）
依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈[
，
]上恒成立，∵g（x）与h（x）在[
，
]上都是增函数，…（12分）
∴要使不等式①成立，当且仅当a＜g(
)或a＞h(
)，
即a＜ln
，或a＞ln
，…（14分）
| OA |
| OB |
| 3 |
| 2+3x |
| OC |
| 0 |
∴
| OA |
| OB |
| 3 |
| 2+3x |
| OC |
又∵A、B、C在同一条直线上，∴(3x+1)+(
| 3 |
| 2+3x |
y=
| 3 |
| 2+3x |
| 3 |
| 2+3x |
（2）∵f(x)=
| 3 |
| 2+3x |
∴原不等式为|a-lnx|-ln(
| 3 |
| 2+3x |
得a＜lnx-ln
| 3 |
| 2+3x |
| 3 |
| 2+3x |
设g(x)=lnx-ln
| 3 |
| 2+3x |
| 2x+3x2 |
| 3 |
| 3 |
| 2+3x |
| 3x |
| 2+3x |
依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈[
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
∴要使不等式①成立，当且仅当a＜g(
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
即a＜ln
| 5 |
| 36 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的恒成立问题，属于中档题．
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