Question

【题目】已知函数在定义域内有两个不同的极值点．

（）求的取值范围．

（）记两个极值点， ，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由导数与极值的关系知可转化为方程在有两个不同根；再转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点；（2）原式等价于，令， ，则不等式在上恒成立，令， ，根据函数的单调性求出即可.

试题解析：（）由函数得的定义域为，且，

若函数在定义域内有两个不同的极值点，则方程，

即有两个不同的根，

即函数与函数的图象在上有两个不同的交点，

如图所示：

若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须，

令切点，则，

又，

∴，解得， ，∴，

∴的取值范围是．

（）因为等价于，

由（）可知， ， 分别是方程的两个根，即， ，

所以原式等价于，

∵， ，

∴原式等价于，

又由， 作差得，

∴原式等价于，

∵，原式恒成立，

即恒成立，

令， ，则不等式在上恒成立，

令， ，

则，

当时，可见时， ，

故在上单调递增，

又， 在上恒成立，符合题意；

当时，可见时， ；

时， ，

∴在时单调递增，在时单调减，

又，故在上不可能恒小于，不符合题意，

综上所述，若不等式恒成立，只须，

又，故．