Question

已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x³-3a²x-4a．
（1）求f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≤-1，若?x₁∈[0，1]，总?x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，求a的取值范围；
（3）对于任意的正整数n，证明-1．（注：）

Answer 1

【答案】分析：（1）令f′（x）=0可得极值点，列出随x变化时f′（x），f（x）的变化表，由表可知单调区间，根据单调性可得最值，进而得到值域；
（2）利用导数可判断g（x）在[0，1]上的单调性，从而可求值域为[1-4a-3a²，-4a]，由题意，得，由此可得不等式组，解出即可；
（3）构造函数，利用导数可判断h（x）在[0，1]上的单调性，根据单调性可证h（x）＞h（0）＞0，整理该不等式后令x=即可；
解答：解：（1）令，解得，x=-1舍去．
由下表：

x		（0，）		（，1）	1
f'（x）		-		+
f（x）	ln2

可知，f（x）的单调递减区间是（0，），递增区间是（，1）； 
f（x）在处取得极小值，也为最小值，
又=＜=＜ln2，
故当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[，ln2]；
（2）∵g'（x）=3（x²-a²），
∴当a≤-1，x∈（0，1）时，g'（x）＜3（1-a²）≤0，
∴g（x）为[0，1]上的减函数，从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）]=[1-4a-3a²，-4a]． 
由题意，得，
即，解得a，
故a的取值范围为．                               
（3）构造函数，
则，
当x∈[0，1]时，h′（x）＞0，∴函数h（x）在[0，1]上单调递增，
又h（0）=1-ln2＞0，
∴x∈[0，1]时，恒有h（x）＞h（0）＞0，即恒成立，
故对任意正整数n，取，有．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力，解决（3）问的关键是根据目标式恰当构造函数．