Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是的中点．求证：
（1）AB•AC=AE•AD；
（2）∠FAE=∠FAD．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BE，利用同圆弧所对的圆周角相等，可得∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，即可得到△ABE∽△ADC，利用相似三角形的性质即可得出．
（2）连接OF，由F是的中点，可得∠BAF=∠CAF．再由（1）相似三角形的可得∠BAE=∠CAD，即可得出结论．
解答：证明：（1）连接BE，则∠E=∠C．又∠ABE=∠ADC=Rt∠，
∴△ABE∽△ADC，∴．
∴AB•AC=AE•AD．
（2）连接OF，∵F是的中点，∴∠BAF=∠CAF．
由（1）得∠BAE=∠CAD，
∴∠FAE=∠FAD．
点评：熟练掌握同圆弧所对的圆周角相等，、相似三角形的判定与性质是解题的关键．