Question

已知函数f(x)＝xlnx．

(Ⅰ)求函数上的最小值；

(Ⅱ)求证：对一切，都有

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)(x)＝lnx＋1，当x∈(0，)，(x)＜0，f(x)单调递减， 　　当x∈(，＋∞)，(x)＞0，f(x)单调递增　　2分 　　①0＜t＜t＋2＜，t无解；②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时，f(x)min＝f()＝－； 　　③≤t＜t＋2，即t≥时，f(x)在［t，t＋2］上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt； 　　所以f(x)min＝　　6分 　　(Ⅱ)问题等价于证明xlnx＞－(x∈(0，＋∞))， 　　由(I)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到． 　　设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则(x)＝，易得m(x)max＝m(1)＝－， 　　当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－　　12分