Question

已知函数f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+2sinxcos(x+

π

6

)，其中x∈[0，

π

2

]
（1）求函数f（x）的值域
（2）若|f（x）-k|＜3对任意x∈[0，

π

2

]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求函数f（x）的值域，须把函数化为一角一函数的形式，先利用二倍角公式降幂，再利用辅助角公式和两角和的正弦公式化一角一函数，最后结合函数的定义域，求出值域．
（2）把|f（x）-k|＜3利用绝对值的意义去绝对值符号，求出f（x）的范围，因为|f（x）-k|＜3对任意x∈[0，

π

2

]恒成立，所以求出的f（x）的范围因为f（x）的值域的子区间，再比较端点的大小即可．

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+2sinxcos(x+

π

6

)
=cosx(cosx+

3

sinx)+2sinxcos(x+

π

6

)
=2cosxsin(x+

π

6

)+2sinxcos(x+

π

6

)
=2sin(2x+

π

6

)
x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，，sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴函数f（x）的值域是[-1，2]
（2）由|f（x）-k|＜3得k-3＜f（x）＜k+3对任意x∈[0，

π

2

]恒成立
∴

2＜k+3 k-3＜-1

从而-1＜k＜2

点评：本题主要考查了三角函数的值域的求法，以及借助三角函数值域求参数的取值范围，做题时经常需要用三角公式化一角一函数．