Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+）²an，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=，求；
（3）设c_n=，求证．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，，构造等比数列求通项公式；（2）把（1）求得的结果代入，采用错位相减法求和即可；（3）把（1）求得的结果代入，通过对c_n进行放缩，达到求和的目的，从而证明了不等式．
解答：解：（1）由已知得，，
∴是公比为2的等比数列，首项a₁=2，
∴=2ⁿ，
∴a_n=n²2ⁿ；
（2）b_n==n2ⁿ，
=1•2+2•2²+3•2³+…+n2ⁿ，
2=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹，
∴-=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=-n2ⁿ⁺¹
∴=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；

（3）c_n==，
当n≥2时，=
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=+++…+
＜+++-…+＜．
点评：此题是个难题．考查学生根据数列递推公式求数列的通项公式并利用错位相减法求和，以及把不能求和的数列问题通过放缩的方法达到求和的目的．特别是问题（3）的设问形式，增加了题目的难度，综合性强．