Question

16．已知F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F₂作垂直于x轴的直线MF₂交椭圆于M，设|MF₂|=d．
（1）证明：b²=ad；
（2）若M的坐标为（$\sqrt{2}$，1），求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b²，原式得证；
（2）由M坐标可得c，再把M再把代入椭圆方程求得a和b的关系，结合隐含条件得到a和b的方程组，求得a，b，则椭圆的方程可求．

解答 （1）证明：把x=c代入椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得${y}^{2}={b}^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}）=\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，
则d=|y|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴d×a=b²，即b²=ad；
（2）解：∵M的坐标为（$\sqrt{2}$，1），∴c=$\sqrt{2}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=2}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得b²=2，a²=4．
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质，等比数列的性质，椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题的能力，是中档题．