Question

（2012•湖南模拟）设函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx．
（1）当a+b=1时，试用含a的表达式研究f（x）的单调区间；
（2）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

分析：（1）将b=a-1代入f′（x）=

1

x

-ax+b，得f′（x）=

1

x

-ax+a-1．当f′（x）＞0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，由此对a讨论后能求出f（x）的单调区间；
（2）方程2mf（x）=x²有唯一实数解，即x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x²-2mlnx-2mx，通过导数法求得g（x）的最小值g（

m+ m2+4m

2

），最后由

g′(x2)=0 g(x2) =0

得到

m+ m2+4m

2

=1，从而可求得m．

解答：解：（1）∵a+b=1，故b=1-a，
∴f′（x）=

1

x

-ax+a-1，…1′
当f′（x）＞0时，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0，∵x＞0，
∴（ax+1）（x-1）＜0，…2′
若a≥0，有0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增；…3′
若-1＜a＜0，增区间（-

1

a

，+∞），（0，1），减区间（1，-

1

a

）…4′
若a=-1，增区间（0，+∞）…5′
若a＜-1，增区间（0，-

1

a

），（1，+∞），减区间（-

1

a

，1）…6′
（2）∵方程2mf（x）=x²有唯一实数解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，
则g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，令g′（x）=0，即x²-mx-m=0，
∵m＞0，x＞0，
∴x₁=

m- m2+4m

2

（舍去），
x₂=

m+ m2+4m

2

…8′
当x∈（0，x₂），g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞），g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上单调递增，
当x=x₂时，g′（x）=0，g（x）取最小值g（x₂）…10′
则

g′(x2)=0 g(x2) =0

即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x22-m x2-m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，因为m＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx₂+x₂-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，
∴h（x）=0至多有一解，因为h（1）=0，
∴方程（*）的解为：x₂=1…12′
即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

…13′

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查论证推理能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．