题目内容

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x≤0时，f（x）=2x3+5ax2+4a2x+b．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当1＜a≤3时，求函数f（x）在（0，1]上的最大值g（a）；
（Ⅲ）如果对满足1＜a≤3的一切实数a，函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，求实数b的取值范围．
（Ⅰ）当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，则
f（x）=-f（-x）=2x3-5ax2+4a2x-b．
当x=0时，f（0）=-f（-0）∴f（0）=0；
∴f（x）=
2x3+5ax2+4a2x+b，(-1≤x＜0)
2x3-5ax2+4a2x-b，(0＜x≤1)
f(0)=0
；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，f′（x）=6x2-10ax+4a2=2（3x-2a）（x-a）=6（x-
2a
3
）（x-a）．
①当
2
3
＜
2a
3
＜1，即1＜a＜
3
2
时，
当x∈（0，
2a
3
）时，f′（x）＞0，当x∈（
2a
3
，1]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，
2a
3
）单调递增，在（
2a
3
，1]上单调递减，
∴g（a）=f（
2a
3
）=
28
27
a3-b．
②当1≤
2a
3
≤2，即
3
2
≤a≤3时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]单调递增．
∴g（a）=f（1）=4a2-5a+2-b，
∴g（a）=
28
27
a3-b，(1＜a＜
3
2
)
4a2-5a+2-b，(
3
2
≤a≤3)

（Ⅲ）要使函数f（x）在（0，1]上恒有f（x）≤0，必须f（x）在（0，1]上的最大值g（a）≤0．
也即是对满足1＜a≤3的实数a，g（a）的最大值要小于或等于0．
①当1＜a≤
3
2
时，g′（a）=
28
9
a2＞0，此时g（a）在（1，
3
2
）上是增函数，
则g（a）＜
28
27
(
3
2
)3-b=
7
2
-b．∴
7
2
-b≤0，解得b≥
7
2
；
②当
3
2
≤a≤3时，g′（a）=8a-5＞0，此时，g（a）在[
3
2
，3]上是增函数，g（a）的最大值是g（3）=23-b．
∴23-b≤0，解得b≥23．
由①、②得实数b的取值范围是b≥23．
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12
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．
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2
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x
-2)（2）y=f(
x
a
)(a≠0)
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1
2
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（
34
，2）
（
34
，2）
．

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