Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知a=2，b=c，b²=2，由此可知椭圆方程为．
（2）设M（2，y），P（x₁，y₁），，直线CM：，代入椭圆方程x²+2y²=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．
（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件．
解答：解：（1）a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2；
∴椭圆方程为（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y），P（x₁，y₁），

直线CM：，代入椭圆方程x²+2y²=4，
得（6分）
∵，∴（8分）
∴（定值）（10分）
（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）
（12分）
则由，从而得m=0
∴存在Q（0，0）满足条件（14分）
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．