Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

2

2

，则下列结论中错误的个数是（　　） 
（1）AC⊥BE．
（2）若P为AA₁上的一点，则P到平面BEF的距离为

2

2

．
（3）三棱锥A-BEF的体积为定值．
（4）在空间与DD₁，AC，B₁C₁都相交的直线有无数条．
（5）过CC₁的中点与直线AC₁所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根据题意，依次分析：如图可知BE?平面BB₁D₁D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确；
根据AA₁∥BB₁，判断出AA₁∥平面BB₁DD₁，即AA₁∥平面BEF，计算出A₁到平面BEF的距离，即可判断出（2）项；
设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB₁D₁D，可分别求得S_△BEF和AO，则三棱锥A-BEF的体积可得判断（3）项正确；
再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确．

解答：解：对于（1），∵AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BE．故（1）正确．
对于（2），∵AA₁∥BB₁，AA₁?平面BB₁DD₁，BB₁?平面BB₁DD₁，
∴AA₁∥平面BB₁DD₁，即AA₁∥平面BEF，
又∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
A₁到平面BEF的距离为A₁到B₁D₁的距离

2

2

，
∴若P为AA₁上的一点，则P到平面BEF的距离为

2

2

，故（2）正确；
对于（3），∵S_△BEF=

1

2

×

2

2

×1=

2

4

，
设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB₁D₁D，AO=

2

2

，
∴V_A-BEF=

1

3

×

2

4

×

2

2

=

1

12

，故（3）正确；
对于（4）在正方体中，AA₁∥DD₁，AD∥B₁C₁，
则AC，AA₁，AD相交于A点，故空间中与DD₁，AC，B₁C₁都相交的直线有无数条．
故（4）正确；
对于（5）由于过CC₁的中点与直线AC₁所成角为40°的直线有2条．
并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确；
故答案为：A．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．