题目内容

已知函数y=b+ax2+2x，（a，b是常数a＞0且a≠1）在区间[-
3
2
，0]上有ymax=3，ymin=
5
2

（1）求a，b的值；
（2）若a∈N*当y＞10时，求x的取值范围．
分析：（1）先求出t=x2+2x的值域，然后分a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论，根据单调性可得函数的最值，由已知可得方程组，解出即可；
（2）由（1）及a∈N*可得a，b值，代入解不等式即可；
解答：解：（1）x∈[-
3
2
，0]，t=x2+2x=(x+1)2-1的值域为[-1，0]，即t∈[-1，0]，
若a＞1，函数y=at在R上单调递增，
所以，at∈[
1
a
，1]，则b+ax2+2x∈[b+
1
a
，b+1]，
所以
b+
1
a
=
5
2
b+1=3
⇒
a=2
b=2
；
若0＜a＜1，函数y=at在R上单调递减，at∈[1，
1
a
]，则b+ax2+2x∈[b+1，b+
1
a
]，
所以
b+
1
a
=3
b+1=
5
2
⇒
a=
2
3
b=
3
2
，
所以a，b的值为
a=
2
3
b=
3
2
或
a=2
b=2
；
（2）由（1）可知a=2，b=2，
则2+2x2+2x＞10，即x2+2x＞3⇒x2+2x-3＞0，
解得x＞1或x＜-3，
所以x的取值范围为{x|x＞1或x＜-3}．
点评：本题考查复合函数的单调性、函数的最值，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+
2b
x
(x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f(x)=x+
c
x
(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=xn+
c
xn
(c＞0)的单调性，并说明理由．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）如果函数y=x+
2b
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函数y=x2+
c
x2
（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+
1
x
）n+（
1
x2
+x）n（n是正整数）在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
已知函数y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性质：在区间（0，
a
]上单调递减，在[
a
，+∞）上单调递增．
（1）如果函数f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，求常数b的值．
（2）设常数a∈[l，4]，求函数y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．
已知函数y=x3-ax（x∈R）在（1，2）有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）
（2013•汕尾二模）已知函数y=2x-ax（a≠2）是奇函数，则函数y=logax是（　　）

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