Question

设y=cos²x-msinx+n的最大值为0，最小值为-4，求m，n的值．

Answer 1

分析：先令sinx=t将y=cos²x-msinx+n转化为关于t且t∈[-1，1]的一元二次函数，然后求出其对称轴，再对m的值进行讨论从而可确定函数在[-1，1]上的单调性，进而根据其最值可求出m，n的值．

解答：解：令sinx=t，t∈[-1，1]，
y=cos²x-msinx+n=1-sin²x-msinx+n，
y=-（sinx+

m

2

）²+

m2

4

+n+1=-（t+

m

2

）²+

m2

4

+n+1
∴y=-（t+

m

2

）²+

m2

4

+n+1，对称轴为t=-

m

2

，
当-

m

2

≤-1即m≥2时，[-1，1]是函数y的递减区间，
y_max=y|_t=-1=m+n=0，y_min=y|_t=1=-m+n=-4，解得：m=2，n=-2；
当-

m

2

≥1即m≤-2时，[-1，1]是函数y的递增区间，
y_max=y|_t=1=-m+n=0，y_min=y|_t=-1=m+n=-4，解得：m=-2，n=-2；
当-1＜-

m

2

＜1即-2＜m＜2时，y_max=y|_t=-

m

2

=

m2

4

+n+1=0，
再当-

m

2

≥0即m≤0时，y_min=y|_t=-1=m+n=-4，得m=-2，不符合-2＜m＜2，
当-

m

2

＜0，即m＞0时，y_min=y|_t=1=-m+n=-4，得m=10，不符合-2＜m＜2，
综上所述：m=2，n=-2或m=-2，n=-2．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和一元二次函数的单调性以及最值的问题．考查考生的基础知识的综合运用能力．属于中档题．