Question

（2012•虹口区三模）设

a

，

b

为二个非零向量，且|

a

+

b

|=2，|

a

-

b

|=2，则|

a

|+|

b

|的最大值是

2

2

．

Answer 1

分析：根据向量数量积的性质和模的定义，将已知两个等式两边平方再相加，得2

|a|

2+2

|b|

2 =8，再利用基本不等式，即可求出|

a

|+|

b

|的最大值．

解答：解：∵|

a

+

b

|=2，|

a

-

b

|=2，
∴

|a

+

b|

 2=

|a|

2+2

a

•

b

+

|b|

2 =4，…①
且

|a

-

b|

 2=

|a|

2-2

a

•

b

+

|b|

2 =4，…②
①+②，得2

|a|

2+2

|b|

2 =8，
根据基本不等式，得（|

a

|+|

b

|）²≤2

|a|

2+2

|b|

2 =8，
∴当且仅当|

a

|=|

b

|=

2

时，|

a

|+|

b

|的最大值是

8

=2

2

故答案为：2

2

点评：本题给出两个非零向量的和与差的长度，求它们长度之和的最大值，着重考查了平面向量数量积的运算性质和基本不等式等知识点，属于基础题．