Question

已知双曲线过点P(-3

2

，4)，它的渐近线方程为y=±

4

3

x
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F₁和F₂是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小．

Answer 1

（1）根据题意，双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x，
可设双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=λ，λ≠0；
双曲线过点P(-3

2

，4)，将P的坐标代入可得λ=1；
则所求的双曲线方程为

x2

9

-

y2

16

=1
（2）设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，则d₁•d₂=32，
又由双曲线的几何性质知|d₁-d₂|=2a=6，
∴d₁²+d₂²-2d₁d₂=36即有d₁²+d₂²=36+2d₁d₂=100，
又|F₁F₂|=2c=10，
∴|F₁F₂|²=100=d₁²+d₂²=|PF₁|²+|PF₂|²
△PF₁F₂是直角三角形，
∠F₁PF₂=90°．