Question

设矩阵(其中a＞0，b＞0)，
(Ⅰ)若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
(Ⅱ)若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：，求a，b的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)设矩阵M的逆矩阵，则，
又，
所以，所以2x₁=1，2y₁=0，3x₂=0，3y₂=1，
即，y₁=0，x₂=0，，
故所求的逆矩阵M^-1=。
(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性交换作用下得到点P′(x′，y′)，
则，即，
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以，
则为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为x²+y²=1，故，
又a＞0，b＞0，所以。