Question

（2011•安徽模拟）已知数列{a_n}的前n项和为T_n=

3

2

n²-

1

2

n，且a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）
（I）求{b_n}的通项公式；
（II）数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（III）若c_n≤

1

4

m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由T_n=

3

2

n²-

1

2

n，先求数列{a_n}的通项公式；代入到a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）根据对数的运算性质化简即可求出{b_n}的通项公式；
（II）把第一问求出的两数列的通项公式代入c_n=a_n•b_n中，确定出c_n的通项公式，从而求数列{c_n}的前n项和S_n；
（III）表示出c_n+1-c_n，判断得到其差小于0，故数列{c_n}为递减数列，令n=1求出数列{c_n}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．

解答：解：（I）由T_n=

3

2

n²-

1

2

n，易得a_n=3n-2代入到a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）根据对数的运算性质化简b_n=(

1

4

)n（n∈N^*），
（II）c_n=a_n•b_n=(3n-2)×(

1

4

)n，∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2++(3n-2)×(

1

4

)n∴

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3++(3n-2)×(

1

4

)n+1
两式相减整理得Sn=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n
（III）c_n=a_n•b_n=（3n-2）•(

1

4

)n∴c_n+1-c_n=（3n+1）•(

1

4

)n+1-（3n-2）•(

1

4

)n=9（1-n）•(

1

4

)n+1（n∈N^*），
∴当n=1时，c₂=c₁=

1

4

，
当n≥2时，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＞c₃＞…＞c_n，
∴当n=1时，c_n取最大值是

1

4

，又c_n≤

1

4

m²+m-1对一切正整数n恒成立∴

1

4

m²+m-1≥

1

4

，即m²+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．

点评：此题考查了等比数列的通项公式，对数的运算性质及数列与不等式的综合．要求学生熟练掌握对数的运算性质，以及不等式恒成立时满足的条件．