Question

实数x，y满足1+cos2(2x+3y-1)=

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

，则xy的最小值是

1

25

．

Answer 1

分析：利用配方法，我们可将1+cos2(2x+3y-1)=

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

转化为1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

的形式，进而根据余弦函数的性质及基本不等式，我们可得(x-y+1)+

1

x-y+1

≥2，或(x-y+1)+

1

x-y+1

≤-2，且1≤1+cos²（2x+3y-1）≤2，则1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

=2，进而x-y+1=1，2x+3y-1=kπ，（k∈Z），求出xy的表达式后，即可得到其最小值．

解答：解：∵1+cos2(2x+3y-1)=

x2+y2+2(x+1)(1-y)

x-y+1

，
∴1+cos2(2x+3y-1)=

x2+y2+2x+2-2xy-2y

x-y+1

∴1+cos2(2x+3y-1)=

(x-y)2+2(x-y)+2

x-y+1

∴1+cos2(2x+3y-1)=

(x-y+1)2+1

x-y+1

∴1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

∵(x-y+1)+

1

x-y+1

≥2，或(x-y+1)+

1

x-y+1

≤-2
1≤1+cos²（2x+3y-1）≤2
故1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

=2
此时x-y+1=1，即x=y
2x+3y-1=kπ，即5x-1=kπ，x=

kπ+1

5

（k∈Z）
xy=x²=

(kπ+1)2

25

（k∈Z）
当k=0时，xy取得最小值

1

25

故答案为：

1

25

点评：本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，其中根据已知条件，得到1+cos2(2x+3y-1)=(x-y+1)+

1

x-y+1

=2，是解答本题的关键．