Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a＜0）
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥6；
（Ⅱ）如果?x₀∈R，f（x₀）＜2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把不等式转化为与之等价的3个不等式组来解，原不等式的解集是这3个不等式组解集的并集．
（Ⅱ）由题意得，f（x）的最小值小于2，由a＜0 即f（x）的最小值小于2 求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） 当a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|（a＜0），
不等式f（x）≥6等价于

x＜-1 1-x-(1+x)≥6

，或 

-1≤x＜1 1-x+x-1≥6

，或 

x≥1 x-1+x+1≥6

，
解得 x≤-3 或 x≥3，
故原不等式的解集为{ x|x≤-3，或 x≥3}．
（Ⅱ）如果?x₀∈R，f（x₀）＜2，则f（x）的最小值小于2，
函数f（x）=

-2x+a-1    (x≤a) 1-a   (a＜x＜1) 2x-(a+1)  (x≥1)

，
故函数f（x）的最小值为  1-a，由

a ＜0 1-a＜2

，
解得-1＜a＜0，
故a的取值范围为（-1，0）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论及转化的数学思想．