Question

已知f(x)=＞0，当x∈(-∞，1]时恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

f(x)＞0在(-∞，1]上恒成立，即1+2^x+4^x·a＞0在(-∞，1]上恒成立，进一步转化为a＞-()^x-()^x在(-∞，1]上恒成立.

当且仅当a大于函数g(x)=-()^x-()^x的最大值时，a＞-()^x-()^x恒成立.

而g(x)=-()^x-()^x在(-∞，1]上是增函数,

∴当x=1时，g(x)_max=--=-.

因此，所求a的取值范围为a＞-.

解析:

利用转化的思想，原题化为1+2^x+4^x·a＞0，再分离参变量得a＞-()^x-()^x，然后求指数函数的最值，最后用指数函数的单调性求最值.