Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）
（1）若在f（x）的图象上横坐标为

2

3

的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；
（2）若f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a取值范围；
（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）依题意，f′（

2

3

）=0
∵f′（x）=-3x²+2ax
-3（

2

3

）²+2•a•

2

3

=0，
∴a=1（3分）
（2）若f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，
则方程f′（x）=0在区间（-2，3）内有两个不同的实根，
∴△＞0，f′（-2）＜0，f′（3）＜0，-2＜

a

3

＜3，
解得-3＜a＜

9

2

且a≠0
但a=0时，f（x）=-x³+1无极值点，
∴a的取值范围为（-3，0）∪（0，

9

2

）（8分）
（3）在（1）的条件下，a=1，
要使函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点，
等价于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三个不同的实根．
∵x=0是一个根，
∴应使方程x²-4x+1-m=0有两个非零的不等实根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，解得m＞-3，m≠1（12分）
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），
使用函数f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象恰有三个交点（13分）