Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=

4

5

，b=5c．
（1）求sinC的值；
（2）若a=6，求△ABC的面积S的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，将cosA及b=5c代入，整理后用c表示出a，再由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由表示出的a及c，利用正弦定理即可求出sinC的值；
（2）由a的值及用c表示出的a，求出c的值，进而再由b=5c求出b的值，最后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积S．

解答：解：（1）∵cosA=

4

5

，b=5c，
∴a²=b²+c²-2bccosA=25c²+c²-10c²×

4

5

=18c²，
∴a=3

2

c，
∵cosA=

4

5

，0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

5

，
∵

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinC=

csinA

a

=

3 5 c

3 2 c

=

2

10

；
（2）由（1）a=3

2

c，a=6，
∴c=

2

，
∵b=5c，
∴b=5

2

，又sinA=

3

5

，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×5

2

×

2

×

3

5

=3．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．