题目内容
【题目】【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考数学（文）】已知椭圆
的中心在原点，离心率等于
，它的一个短轴端点恰好是抛物线
的焦点
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知
、
是椭圆上的两点， 
， 
是椭圆上位于直线
两侧的动点.①若直线
的斜率为
，求四边形
面积的最大值；
②当
， 
运动时，满足
,试问直线
的斜率是否为定值，请说明理由
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析: (1)由椭圆的离心率及短轴端点坐标求出
,得到椭圆方程; (2)①设
设直线AB方程为
，联立直线与椭圆方程,消去
,得到一个关于
的二次方程,求出
,再求出
,代入三角形面积公式,求出最大值; ②由
得到直线
斜率之和为0，设直线
斜率为
,则直线
斜率为
,直线
方程为
,代入椭圆方程中,求出
的表达式,同理求出
的表达式,再求出
的值,代入直线
的斜率计算公式中,结果为定值.
试题解析:（1）
∴
∴
又 
∴
∴ 椭圆方程为
（2）①设 
， 
设
方程 
代入化简 
， 
又
、
当
时， 
最大为
②当
时， 
、
斜率之和为
.
设
斜率为
，则
斜率为
设
方程
代入化简
同理 
， 
∴
直线
的斜率为定值
【题目】按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：
组别 | PM2.5浓度（微克/立方米） | 频数（天） |
第一组 |
| 32 |
第二组 |
| 64 |
第三组 |
| 16 |
第四组 | 115以上 | 8 |
（1）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（2）在（1）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率.
