题目内容

若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为

A.
2
B.
$数学公式$
C.
2或 $数学公式$
D.
2或 $数学公式$

D
分析：先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°，得双曲线的两条渐近线的斜率± $\text{[math]}$ 或± $\text{[math]}$ ，由于不知双曲线的焦点位置，故通过讨论分别计算离心率，由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再由双曲线中c²=a²+b²，求其离心率即可
解答：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x、y轴对称，
若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°，150°，斜率为± $\text{[math]}$ ；
若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°，120°，斜率为± $\text{[math]}$ ．
①若双曲线的焦点在x轴上，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵c²=a²+b²
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ =3
∴e²-1= $\text{[math]}$ 或e²-1=3
∴e= $\text{[math]}$ 或e=2
②若双曲线的焦点在y轴上，同理可得离心率为2或 $\text{[math]}$ ．
则该双曲线的离心率为：2或 $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想，属于基础题．